قضیه فیثاغورس درباره کدام مثلث است؟
این رابطه فقط برای مثلث قائم‌الزاویه به کار می‌رود؛ یعنی مثلثی که یکی از زاویه‌های آن ۹۰ درجه است. دو ضلعی که زاویهٔ راست را می‌سازند ضلع‌های قائم‌اند و ضلع روبه‌روی آن زاویه، وتر نام دارد. وتر با دو ضلع قائم تماس دارد، اما خودش سازنده زاویهٔ راست نیست.
قضیه می‌گوید مساحت مربعی که روی وتر ساخته می‌شود با مجموع مساحت مربع‌های ساخته‌شده روی دو ضلع قائم برابر است. به همین دلیل در رابطه، طول هر ضلع به توان دو می‌رسد. عبارت a² + b² جمع خود طول‌ها نیست؛ جمع مربع طول دو ضلع قائم است.
قضیه فیثاغورس در ریاضی هشتم را چگونه به کار ببریم؟
هر مسئله را پیش از محاسبه به یک شکل برچسب‌دار تبدیل کنید و این مسیر را به‌ترتیب پیش ببرید:
- زاویهٔ راست را روی شکل پیدا کنید و قائم‌الزاویه بودن مثلث را بررسی کنید.
- ضلع روبه‌روی زاویهٔ راست را وتر بنامید و آن را در جای c قرار دهید.
- رابطه c² = a² + b² را بنویسید و طول‌های معلوم را جای‌گذاری کنید.
- معادله را برای مربع ضلع مجهول حل کنید و سپس جذر نامنفی بگیرید.
- پاسخ را با بلندتر بودن وتر، واحد طول و جای‌گذاری دوباره کنترل کنید.
وتر را چگونه بدون توجه به جهت شکل پیدا کنیم؟
وتر معمولاً بلندترین ضلع مثلث قائم‌الزاویه است، اما مطمئن‌ترین نشانه جای آن نسبت به زاویهٔ راست است. هر طور که شکل چرخیده یا وارونه رسم شده باشد، ضلع روبه‌روی علامت زاویهٔ ۹۰ درجه وتر است. پس ضلع افقی، مورب یا بالایی را خودکار وتر نگیرید.
پس از یافتن وتر، نام حرف‌ها اهمیتی ندارد. اگر در شکل ضلع روبه‌روی زاویهٔ راست x نامیده شده باشد، همان x باید در سمت مربع وتر قرار گیرد: x² = a² + b². حرف c فقط یک قرارداد رایج برای توضیح رابطه است، نه شرط استفاده از آن.
مثال اجرایی: طول وتر را پیدا کنیم
مثلث قائم‌الزاویه‌ای با دو ضلع قائم ۶ و ۸ سانتی‌متر در نظر بگیرید. چون ضلع مجهول وتر است، می‌نویسیم c² = 6² + 8². مربع‌ها برابر ۳۶ و ۶۴ هستند؛ پس c² = 100 و با گرفتن جذر نامنفی، c = 10 سانتی‌متر به دست می‌آید.
کنترل هندسی نیز با پاسخ سازگار است: وتر باید از هر ضلع قائم بلندتر باشد و ۱۰ از ۶ و ۸ بزرگ‌تر است. جای‌گذاری دوباره هم می‌دهد 10² = 6² + 8² یا ۱۰۰ = ۳۶ + ۶۴. انجام هر دو کنترل، خطای محاسبه و انتخاب نادرست وتر را آشکار می‌کند.
اگر یکی از ضلع‌های قائم مجهول باشد چه کنیم؟
وقتی وتر و یک ضلع قائم معلوم‌اند، ابتدا مربع ضلع قائم مجهول را تنها کنید. اگر وتر c، ضلع معلوم a و ضلع مجهول b باشد، از c² = a² + b² به b² = c² - a² می‌رسیم. در این حالت مربع عدد کوچک‌تر را از مربع وتر کم می‌کنیم، نه برعکس.
برای نمونه، اگر وتر ۱۳ و یک ضلع قائم ۵ سانتی‌متر باشد، می‌نویسیم b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144؛ بنابراین b = 12 سانتی‌متر است. پاسخ منفیِ ۱۲- طول هندسی یک ضلع نیست، پس طول را با جذر نامنفی گزارش می‌کنیم.
عکس قضیه فیثاغورس چه چیزی را بررسی می‌کند؟
گاهی سه طول داده شده‌اند و باید تشخیص دهیم آیا می‌توانند ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه باشند. در این حالت بزرگ‌ترین طول را نامزد وتر می‌گیریم. اگر مربع آن دقیقاً با مجموع مربع دو طول دیگر برابر باشد، مثلث با این ضلع‌ها قائم‌الزاویه است؛ این کاربرد را عکس قضیه فیثاغورس می‌نامند.
برای طول‌های ۷، ۲۴ و ۲۵، بزرگ‌ترین عدد ۲۵ است. چون 25² = 625 و 7² + 24² = 49 + 576 = 625، رابطه برقرار است. اما اگر برابری برقرار نشد، فقط می‌فهمیم این سه طول با رابطه فیثاغورس یک مثلث قائم‌الزاویه نمی‌سازند؛ نباید یکی از عددها را برای درست‌شدن رابطه تغییر دهیم.
مثال کاربردی: قطر یک مستطیل را محاسبه کنیم
قطر مستطیل آن را به دو مثلث قائم‌الزاویه تقسیم می‌کند. اگر طول و عرض یک مستطیل ۱۲ و ۵ متر باشد، این دو اندازه ضلع‌های قائم و قطر مستطیل وتر یکی از آن مثلث‌هاست. پس d² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 و d = 13 متر می‌شود.
پیش از استفاده از رابطه، باید دلیل ساخته‌شدن زاویهٔ راست روشن باشد؛ در مستطیل، ضلع‌های مجاور بر هم عمودند. در یک چهارضلعی دلخواه نمی‌توان تنها با دیدن قطر، مثلث حاصل را قائم‌الزاویه فرض کرد. ویژگی شکل بخشی از داده مسئله است، نه یک حدس تصویری.
وقتی جذر کامل نیست چگونه پاسخ را بنویسیم؟
ممکن است پس از محاسبه به عددی برسید که مربع کامل نیست. برای مثال، اگر ضلع‌های قائم ۴ و ۷ باشند، مربع وتر برابر ۱۶ + ۴۹ یا ۶۵ است؛ بنابراین طول دقیق وتر √۶۵ واحد است. لازم نیست همیشه مقدار رادیکال را به عدد صحیح تبدیل کنید.
اگر سؤال تقریب بخواهد، ابتدا √۶۵ را میان دو عدد قرار دهید: چون 8² = 64 و 9² = 81، جذر ۶۵ کمی بیشتر از ۸ است. روش ساخت بازه و تعیین اعشار در مقاله «جذر تقریبی در ریاضی هشتم» توضیح داده شده و می‌تواند کنترل محاسبه این بخش را کامل کند.
خطاهای رایج در استفاده از رابطه فیثاغورس
اگر پاسخ با شکل یا داده‌ها سازگار نیست، این خطاها را بررسی کنید:
- به‌کاربردن رابطه برای مثلثی که قائم‌الزاویه بودن آن داده یا ثابت نشده است.
- اشتباه‌گرفتن ضلع موربِ شکل با وتر، بدون پیدا کردن زاویهٔ راست.
- نوشتن c = a² + b² و فراموش‌کردن توان دوم وتر.
- جمع‌کردن طول‌ها به‌جای جمع مربع طول دو ضلع قائم.
- کم‌کردن مربع وتر از مربع ضلع قائم هنگام یافتن ضلع مجهول.
- گرفتن جذر پیش از تنهاکردن مربع ضلع مجهول.
- نوشتن پاسخ بدون واحد یا پذیرفتن طول منفی برای ضلع.
چک‌لیست حل مسئله فیثاغورس
پیش از نهایی‌کردن پاسخ، این موارد را یکی‌یکی کنترل کنید:
- قائم‌الزاویه بودن مثلث از داده یا ویژگی شکل روشن است.
- وتر را به‌عنوان ضلع روبه‌روی زاویهٔ ۹۰ درجه مشخص کرده‌ام.
- مربع وتر در یک سوی رابطه و مربع ضلع‌های قائم در سوی دیگر است.
- اگر ضلع قائم مجهول بود، مربع آن را با تفریق درست تنها کرده‌ام.
- پس از محاسبه مربع ضلع، جذر نامنفی گرفته‌ام.
- وتر از هر یک از دو ضلع قائم بلندتر به دست آمده است.
- پاسخ را در رابطه اصلی جای‌گذاری و واحد طول را ثبت کرده‌ام.
جمع‌بندی
در هر مسئله فیثاغورس، تشخیص زاویهٔ راست و وتر از خود محاسبه مهم‌تر است. ضلع روبه‌روی زاویهٔ راست را وتر بگیرید، مربع آن را برابر مجموع مربع دو ضلع قائم بنویسید و سپس معادله را برای ضلع مجهول حل کنید. اگر ضلع قائم مجهول است از تفریق مربع‌ها و اگر وتر مجهول است از جمع آن‌ها استفاده می‌شود. در پایان، بزرگ‌تر بودن وتر، واحد و برابری دوباره مربع‌ها را کنترل کنید.