عامل، عدد اول و عدد مرکب چه تفاوتی دارند؟
عامل‌های یک عدد، عددهایی هستند که آن عدد بر آن‌ها بدون باقی‌مانده تقسیم می‌شود. برای نمونه، ۳ و ۴ عامل‌های ۱۲ هستند، چون ۱۲ = ۳ × ۴. عدد اولِ بزرگ‌تر از یک فقط دو عامل مثبتِ ۱ و خودش را دارد؛ مانند ۲، ۳، ۵ و ۷. عدد مرکب بیش از دو عامل مثبت دارد و می‌توان آن را به حاصل‌ضرب عددهای کوچک‌تر از خودش نوشت.
عدد ۱ نه اول است و نه مرکب؛ بنابراین آن را در فهرست عامل‌های اولِ تجزیه نمی‌نویسیم. همچنین خودِ یک عدد اول دیگر نیاز به تجزیه ندارد. هدف این مهارت آن است که هر عدد طبیعی مرکب را فقط به صورت حاصل‌ضرب عامل‌های اول نمایش دهیم.
تجزیه عدد به عوامل اول در ریاضی هشتم چگونه انجام می‌شود؟
از کوچک‌ترین عدد اولی شروع کنید که عدد بر آن بخش‌پذیر است. پس از تقسیم، خارج‌قسمت را دوباره با همین منطق بررسی کنید و تا رسیدن به خارج‌قسمت ۱ ادامه دهید. هر مقسوم‌علیه اول را ثبت کنید؛ فهرست این مقسوم‌علیه‌ها تجزیه عدد را می‌سازد.
لازم نیست همیشه همه عددهای اول را امتحان کنید. اگر عدد زوج است از ۲، اگر مجموع رقم‌هایش بر ۳ بخش‌پذیر است از ۳ و اگر رقم یکانش صفر یا ۵ است از ۵ آغاز کنید. این نشانه‌ها فقط انتخاب تقسیم بعدی را سریع‌تر می‌کنند و جای کنترل باقی‌مانده را نمی‌گیرند.
- اول یا مرکب بودن عدد آغازین را بررسی کنید.
- کوچک‌ترین عامل اول مناسب را پیدا کنید.
- عدد را تقسیم کنید و عامل اول را کنار محاسبه نگه دارید.
- همین کار را برای خارج‌قسمت ادامه دهید تا به ۱ برسید.
- عامل‌های تکراری را با توان بنویسید و حاصل‌ضرب را کنترل کنید.
درخت تجزیه را چگونه رسم کنیم؟
در روش درختی، عدد مرکب را بالای صفحه می‌نویسیم و دو شاخه برای دو عامل آن می‌کشیم. هر شاخه‌ای که به عدد مرکب رسیده است دوباره به دو عامل شکسته می‌شود. شاخه زمانی پایان می‌یابد که عدد انتهای آن اول باشد. عامل‌های اولِ انتهای همه شاخه‌ها پاسخ‌اند.
برای ۷۲ می‌توان از ۸ × ۹ آغاز کرد. عدد ۸ به ۲ × ۴ و سپس ۴ به ۲ × ۲ می‌شکند؛ عدد ۹ نیز ۳ × ۳ است. برگ‌های درخت در مجموع ۲، ۲، ۲، ۳ و ۳ هستند؛ پس ۷۲ = ۲³ × ۳². انتخاب آغاز دیگری مانند ۶ × ۱۲ نیز باید به همین عامل‌های اول برسد.
روش تقسیم پیاپی چه تفاوتی با درخت تجزیه دارد؟
در تقسیم پیاپی، عدد را در یک ستون می‌نویسیم و آن را بر یک عامل اول تقسیم می‌کنیم. خارج‌قسمت زیر عدد قبلی قرار می‌گیرد و فرایند ادامه می‌یابد. برای ۹۰، تقسیم‌ها می‌توانند چنین باشند: ۹۰ ÷ ۲ = ۴۵، سپس ۴۵ ÷ ۳ = ۱۵، بعد ۱۵ ÷ ۳ = ۵ و در پایان ۵ ÷ ۵ = ۱؛ پس ۹۰ = ۲ × ۳² × ۵.
درخت تجزیه رابطه عامل‌ها را تصویری‌تر نشان می‌دهد و تقسیم پیاپی مسیر منظم‌تری برای ثبت محاسبه دارد. این دو روش مفهوم متفاوتی تولید نمی‌کنند. اگر هر مرحله درست باشد، عامل‌های اول نهایی یکسان‌اند و فقط ترتیب پیدا کردن آن‌ها ممکن است فرق کند.
مثال اجرایی: عدد ۱۸۰ را مرحله‌به‌مرحله تجزیه کنیم
عدد ۱۸۰ زوج است، پس ابتدا بر ۲ تقسیم می‌کنیم و به ۹۰ می‌رسیم. ۹۰ نیز زوج است؛ با تقسیم دوباره بر ۲، خارج‌قسمت ۴۵ می‌شود. مجموع رقم‌های ۴۵ برابر ۹ است، پس بر ۳ بخش‌پذیر است: ۴۵ ÷ ۳ = ۱۵. یک بار دیگر ۱۵ ÷ ۳ = ۵ و در پایان ۵ ÷ ۵ = ۱.
عامل‌هایی که در مسیر ثبت شدند ۲، ۲، ۳، ۳ و ۵ هستند. عامل‌های برابر را گروه‌بندی می‌کنیم و می‌نویسیم ۱۸۰ = ۲² × ۳² × ۵. برای کنترل، ۴ × ۹ × ۵ را حساب می‌کنیم که دوباره ۱۸۰ می‌شود؛ پس هیچ عامل اولی جا نیفتاده است.
عامل‌های تکراری را چگونه با توان بنویسیم؟
وقتی یک عامل اول چند بار تکرار می‌شود، توان تعداد تکرار آن را کوتاه و دقیق نشان می‌دهد. عبارت ۲ × ۲ × ۲ × ۳ × ۳ را می‌توان ۲³ × ۳² نوشت. پایه همان عامل اول و توان شمار دفعات حضور آن است؛ توان را با خودِ عامل یا حاصل ضرب اشتباه نگیرید.
در تجزیه ۶۰، عامل‌ها ۲، ۲، ۳ و ۵ هستند؛ بنابراین شکل توانی ۲² × ۳ × ۵ است. برای عاملی که فقط یک بار آمده معمولاً توان ۱ نوشته نمی‌شود. شکل توانی باید همچنان حاصل‌ضرب باشد؛ عبارت ۲² + ۳ + ۵ تجزیه عدد ۶۰ نیست.
چرا مسیرهای متفاوت به یک تجزیه می‌رسند؟
ممکن است دو نفر درخت ۱۲۰ را با ۱۲ × ۱۰ یا با ۱۵ × ۸ آغاز کنند. شاخه‌های میانی متفاوت‌اند، اما وقتی همه شاخه‌ها تا عدد اول ادامه پیدا کنند، هر دو مسیر به ۲³ × ۳ × ۵ می‌رسند. ترتیب نوشتن عامل‌ها نیز مقدار حاصل‌ضرب را تغییر نمی‌دهد.
اگر دو پاسخ واقعاً عامل‌های اول متفاوتی دارند، دست‌کم یکی از درخت‌ها زود متوقف شده یا یک تقسیم اشتباه دارد. هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک، تجزیه یکتایی به عامل‌های اول دارد؛ البته جابه‌جایی ترتیب عامل‌ها همان تجزیه به شمار می‌آید.
تجزیه به عوامل اول چه کاربردی دارد؟
تجزیه، ساختمان ضربی عدد را آشکار می‌کند و در پیدا کردن ب.م.م و ک.م.م، ساده‌کردن بعضی کسرها و شناخت مربع‌های کامل به کار می‌آید. برای نمونه، در تجزیه یک مربع کامل، توان همه عامل‌های اول زوج است؛ به همین دلیل ۱۴۴ = ۲⁴ × ۳² یک مربع کامل است.
برای کاربرد در جذر، ابتدا باید تجزیه را بی‌خطا انجام دهید و سپس جفت‌های برابر را تشخیص دهید. اگر هدف شما تعیین مقدار تقریبی ریشه یک عدد غیرمربع کامل است، مقاله «جذر تقریبی در ریاضی هشتم» روش ساخت بازه میان دو مربع کامل را توضیح می‌دهد.
خطاهای رایج در تجزیه عددها
اگر حاصل‌ضرب نهایی عدد آغازین را نمی‌سازد، این خطاها را بررسی کنید:
- عدد ۱ را به‌عنوان عامل اول در پاسخ نوشته‌ام.
- شاخه درخت را روی عددی مرکب مانند ۹ یا ۱۵ متوقف کرده‌ام.
- تقسیمی را بدون کنترل باقی‌مانده انجام داده‌ام.
- یکی از عامل‌های تکراری را هنگام تبدیل به توان جا انداخته‌ام.
- تعداد تکرار عامل را به‌جای توان، با خود عامل جمع کرده‌ام.
- میان عامل‌های شکل نهایی علامت جمع گذاشته‌ام.
- پاسخ را با ضرب دوباره عامل‌ها کنترل نکرده‌ام.
چک‌لیست تجزیه عدد به عوامل اول
پیش از نهایی‌کردن پاسخ، این موارد را یکی‌یکی کنترل کنید:
- عدد آغازین بزرگ‌تر از یک است و اگر اول باشد، همان‌جا متوقف شده‌ام.
- هر تقسیم بدون باقی‌مانده است و خارج‌قسمت درست ثبت شده است.
- همه برگ‌های درخت یا همه مقسوم‌علیه‌های ستون، عدد اول‌اند.
- فرایند را تا رسیدن خارج‌قسمت به ۱ ادامه داده‌ام.
- برای عامل‌های تکراری، توان برابر تعداد تکرار نوشته‌ام.
- میان عامل‌ها علامت ضرب گذاشته‌ام و عدد ۱ را عامل اول نگرفته‌ام.
- با محاسبه حاصل‌ضرب، دقیقاً به عدد آغازین برگشته‌ام.
جمع‌بندی
برای تجزیه یک عدد مرکب، آن را با درخت تجزیه یا تقسیم پیاپی به عامل‌های کوچک‌تر بشکنید و فقط زمانی متوقف شوید که همه عامل‌ها اول باشند. عامل‌های تکراری را با توان بنویسید و در پایان حاصل‌ضربشان را دوباره حساب کنید. تشخیص اول و مرکب، استفاده درست از نشانه‌های بخش‌پذیری و ننوشتن عدد ۱ به‌عنوان عامل اول، سه کنترل اصلی این مهارت‌اند.