بردار و مؤلفه‌های آن چه چیزی را نشان می‌دهند؟
بردار کمیتی جهت‌دار است و در شکل با پاره‌خطی پیکان‌دار نمایش داده می‌شود. ابتدای پیکان نقطه شروع و نوک آن جهت حرکت را نشان می‌دهد. دو بردار زمانی برابرند که اندازه و جهت یکسان داشته باشند؛ جای آن‌ها روی صفحه به‌تنهایی برابری را تغییر نمی‌دهد.
در دستگاه مختصات، یک بردار را می‌توان با دو مؤلفه نوشت. مؤلفه اول جابه‌جایی افقی و مؤلفه دوم جابه‌جایی عمودی است. برای نمونه، بردار (۳، −۲) یعنی سه واحد به راست و دو واحد به پایین. علامت هر مؤلفه بخشی از اطلاعات بردار است و نباید هنگام محاسبه حذف شود.
جمع بردارها در ریاضی هشتم چگونه انجام می‌شود؟
اگر بردارها به صورت مختصاتی داده شده‌اند، مؤلفه‌های هم‌جهت را جداگانه جمع کنید. برای دو بردار (a، b) و (c، d)، حاصل برابر (a + c، b + d) است. مؤلفه افقی فقط با مؤلفه افقی و مؤلفه عمودی فقط با مؤلفه عمودی جمع می‌شود.
اگر بردارها روی شکل هستند، می‌توانید بردار دوم را بدون تغییر اندازه و جهت طوری جابه‌جا کنید که ابتدای آن روی انتهای بردار اول قرار گیرد. سپس پیکانی از ابتدای بردار اول تا انتهای بردار دوم بکشید. این پیکان همان بردار حاصل است و باید با نتیجه مؤلفه‌ای سازگار باشد.
- جهت مثبت و منفی هر محور را از روی شکل مشخص کنید.
- مؤلفه افقی و عمودی هر بردار را جدا بنویسید.
- مؤلفه‌های افقی را با علامتشان جمع کنید.
- مؤلفه‌های عمودی را با علامتشان جمع کنید.
- بردار حاصل را رسم و جهت آن را با عددها کنترل کنید.
مؤلفه یک بردار را از دو نقطه چگونه پیدا کنیم؟
اگر بردار از نقطه A(x₁, y₁) به نقطه B(x₂, y₂) باشد، مؤلفه آن از «مختصات انتها منهای مختصات ابتدا» به دست می‌آید: (x₂ − x₁، y₂ − y₁). ترتیب تفریق در هر دو مؤلفه باید از ابتدا به انتها یکسان بماند.
برای برداری از A(۱، ۲) به B(۵، −۱)، مؤلفه افقی ۵ − ۱ = ۴ و مؤلفه عمودی −۱ − ۲ = −۳ است؛ پس بردار (۴، −۳) خواهد بود. این نتیجه با شکل نیز سازگار است: از A چهار واحد به راست و سه واحد به پایین می‌رویم.
مثال اجرایی: دو بردار را با مؤلفه و رسم جمع کنیم
بردار u = (۴، −۱) و بردار v = (−۲، ۳) را در نظر بگیرید. مؤلفه‌های افقی را جمع می‌کنیم: ۴ + (−۲) = ۲. سپس مؤلفه‌های عمودی را جمع می‌کنیم: −۱ + ۳ = ۲. بنابراین u + v = (۲، ۲) است.
برای کنترل تصویری، از یک نقطه دلخواه چهار واحد به راست و یک واحد به پایین بروید. از نقطه تازه، دو واحد به چپ و سه واحد به بالا حرکت کنید. نقطه پایان نسبت به نقطه آغاز دو واحد به راست و دو واحد به بالاست؛ پس رسم نیز بردار (۲، ۲) را تأیید می‌کند.
روش سر به ته یا مثلثی چرا همان پاسخ را می‌دهد؟
در روش سر به ته، حرکت دوم دقیقاً از جایی آغاز می‌شود که حرکت اول پایان یافته است. بردار حاصل جابه‌جایی کلی را نشان می‌دهد، نه طول مسیری را که در دو مرحله پیموده‌ایم. به همین دلیل، آن را از نقطه شروع نخستین بردار تا نقطه پایان دومین بردار رسم می‌کنیم.
جابه‌جایی یک بردار روی صفحه مجاز است، به شرط آنکه طول، جهت و مؤلفه‌هایش تغییر نکند. چرخاندن پیکان یا برعکس‌کردن جهت، دیگر همان بردار نیست. هنگام انتقال، بهتر است تعداد خانه‌های افقی و عمودی را دوباره بشمارید تا نسخه جابه‌جاشده دقیق باشد.
علامت‌های منفی در جمع مؤلفه‌ها چه معنایی دارند؟
مؤلفه افقی مثبت حرکت به راست و مؤلفه افقی منفی حرکت به چپ را نشان می‌دهد. در مؤلفه عمودی نیز مثبت به بالا و منفی به پایین مربوط است. جمع دو عدد با علامت مخالف یعنی دو حرکت در یک راستا تا اندازه‌ای اثر یکدیگر را خنثی می‌کنند.
برای نمونه، مؤلفه‌های افقی ۷ و −۵ در مجموع ۲ می‌شوند؛ یعنی حرکت خالص دو واحد به راست است. اگر حاصل یک مؤلفه صفر شود، بردار نهایی در آن راستا جابه‌جایی ندارد. بردار (۰، ۴) فقط عمودی و بردار (−۳، ۰) فقط افقی است.
تفریق بردارها چه ارتباطی با بردار قرینه دارد؟
بردار قرینه اندازه‌ای برابر و جهتی مخالف بردار اصلی دارد. قرینه بردار (a، b) برابر (−a، −b) است. بنابراین تفریق v از u را می‌توان به صورت جمع u با قرینه v دید: u − v = u + (−v).
برای مثال، اگر u = (۵، ۲) و v = (۱، ۳) باشد، قرینه v برابر (−۱، −۳) است و u − v به (۴، −۱) می‌رسد. فقط علامت برداری را عوض کنید که کم می‌شود؛ تغییر علامت هر دو بردار، مسئله دیگری می‌سازد.
جمع بردار با جمع نقطه‌ها چه تفاوتی دارد؟
مختصات یک نقطه جای آن را نسبت به مبدأ نشان می‌دهد، اما مؤلفه‌های یک بردار تغییر مکان افقی و عمودی را بیان می‌کنند. اگر از نقطه P(۲، ۱) با بردار (۳، −۴) حرکت کنیم، نقطه پایان با افزودن مؤلفه‌ها به مختصات آغاز برابر (۵، −۳) می‌شود.
این محاسبه به معنی آن نیست که هر دو زوج عدد همیشه از یک نوع‌اند. در متن حل مشخص کنید کدام زوج «نقطه»، کدام «بردار» و کدام «نقطه پایان» است. نوشتن نام‌ها کنار زوج‌ها از مخلوط‌شدن مکان و جابه‌جایی جلوگیری می‌کند.
خطاهای رایج در جمع و رسم بردارها
اگر رسم و محاسبه به دو پاسخ متفاوت رسیده‌اند، این خطاها را بررسی کنید:
- جمع‌کردن مؤلفه افقی یک بردار با مؤلفه عمودی بردار دیگر.
- نادیده‌گرفتن علامت منفی هنگام جمع یا خواندن محور.
- به‌دست‌آوردن بردار از دو نقطه با تفریق ابتدا منهای انتها.
- چرخاندن یا برعکس‌کردن بردار هنگام جابه‌جایی برای رسم سر به ته.
- رسم بردار حاصل از انتهای مسیر به ابتدای آن و معکوس‌شدن جهت.
- یکی دانستن طول مسیر دو مرحله‌ای با بردار جابه‌جایی نهایی.
- مخلوط‌کردن مختصات نقطه با مؤلفه‌های بردار بدون برچسب.
چک‌لیست حل تمرین جمع بردارها
پیش از نهایی‌کردن پاسخ، این موارد را یکی‌یکی کنترل کنید:
- جهت مثبت محورهای افقی و عمودی را درست خوانده‌ام.
- برای بردار میان دو نقطه، انتها را از ابتدا کم کرده‌ام.
- هر مؤلفه را همراه علامت مثبت یا منفی آن نوشته‌ام.
- مؤلفه‌های افقی را فقط با هم و مؤلفه‌های عمودی را فقط با هم جمع کرده‌ام.
- در روش سر به ته، اندازه و جهت بردار جابه‌جاشده ثابت مانده است.
- بردار حاصل از آغاز کل مسیر به پایان کل مسیر رسم شده است.
- جهت و تعداد خانه‌های بردار رسم‌شده با زوج عددی پاسخ سازگار است.
جمع‌بندی
برای جمع بردارها، هر بردار را به حرکت افقی و عمودی تجزیه کنید و مؤلفه‌های هم‌جهت را با علامتشان جمع بزنید. در رسم سر به ته، ابتدای بردار دوم را به انتهای بردار اول منتقل کنید و بردار حاصل را از شروع کل مسیر تا پایان آن بکشید. پیدا کردن مؤلفه از دو نقطه، توجه به علامت‌ها و مقایسه پاسخ عددی با رسم، سه کنترل اصلی این مهارت‌اند.